Simpel epidemi-model – for matematikere

Simpel epidemi-model

Hvis man har interesse for matematik, og er vant til at bruge et regneark, kan man anvende lidt af sin tid i selv-isolation til at modellere den potentielle udvikling af corona epidemien, i forskellige lande og under forskellige forudsætninger. Her er en simpel model, som er afledt af SIR-modellen (se for eksempel Wikipedia), men med inkrementale ligninger istedet for differentialligninger. Man kunne kalde modellen for DRIM, for Døde, Raske, Inficerede og Modtagelige (ikke-immune).

 

Første skridt er at beregne tilvækster, Δ, på dag t efter epidemiens start, hvor antallet af inficerede er I(t):

antal døde på dag t: ΔD = δI(t)

antal der bliver raske på dag t: ΔR = γI(t)

antal nye inficerede på dag t: ΔI = βI(t)M(t)/N

herefter beregnes det akkumulerede antal af døde og raske, og antallet af inficerede og modtagelige på dag t+1:

døde: D(t+1) = D(t) + ΔD

raske: R(t+1) = R(t) + ΔR

inficerede: I(t+1) = I(t) + ΔI – ΔR – ΔD

modtagelige: M(t+1) = M(t) – ΔI

δ, γ og β er konstanter og N er størrelsen på den population hvori smitten foregår.

Tal for epidemiens forløb i forskellige lande, kan man finde på Wikipedia eller på https://www.worldometers.info/coronavirus/

 

Først tilpasser man konstanterne δ, γ og β således at modellen følger de virkelige tal for epidemiens start, så godt som muligt (Solver kan være til hjælp). Populationens størrelse, N, har ikke den store betydning i starten af epidemien. Herefter kan man lade modellen spå om hvornår epidemien topper, hvornår den holder op eller hvor mange der dør under epidemien. Med den kurs England hidtil har fulgt, ser det ud til at de ville få flere millioner døde (det er måske derfor Boris Johnson har så travlt med at rygsvømme).

 

Man kan raffinere modellen, ved også at lade konstanterne være en funktion af tiden. For corona epidemien har β typisk en værdi omkring 0,3 i begyndelsen, det svarer til at der kommer 0,3 nye inficerede pr. inficeret pr. dag, eller en fordobling af antallet af smittede på 2,6 dage, det giver en 10-dobling på 8,8 dage. Hvis man reducerer antallet af person-kontakter, ved at lukke samfundet mere eller mindre ned, bliver β reduceret. Falder antallet af kontakter med en faktor 3, betyder det af β falder til 0,1 (og at Danmarks epidemi først er overstået om 1 år). Kan man få β ned under γ + δ, vil antallet af inficerede begynde at falde, indtil der ikke er flere tilbage, og epidemien er slut. Hvis klorokin kan reducere sygdommens varighed fra 20 dage til 8 dage, som forsøg i Frankrig tyder på, så vil γ blive øget med en faktor 2,5.

 

Bruger man WHOs strategi, med at opspore alle smittekæder og lukke dem, den såkaldte inddæmningsstrategi (containement strategy), så kan man reducere populationens størrelse, N. For at vinde tid til inddæmningsstrategien, må man samtidig reducere samfundsaktiviteten, ellers vil smitten sprede sig for hurtigt til at man kan nå at inddæmme den. Wuhan, hvor epidemien startede og udviklede sig med størst voldsomhed, har en befolkning på cirka 11 millioner, så hvis epidemien havde fået lov til at udfolde sig, ville man have fået en N værdi af denne størrelsesorden. Med inddæmningsstrategien viser det sig at N bliver mindre end 100.000, resten af Wuhans borgere er aldrig blevet udsat for smitten. I Wuhan var epidemien overstået godt 50 dage efter at man indrømmede at der var en epidemi. Idæmningen har så den ulempe, set fra sundhedsmyndighedernes side, at Wuhan idag kun har 80.000 der er immune, og at man ikke har opnået ’flok immunitet’ (herd immunity, immunité de groupe), så at næsten samtlige borgere vil være modtagelige, når det næste virusangreb kommer.

 

Man skal huske på, at det kun er en matematisk model, som ikke nødvendigvis har noget med den virkelige, komplicerede verden at gøre.

Del på Facebook

ANDRE LÆSER OGSÅ…